信号与系统

信号与系统

一、信号

连续时间信号，连续变量的函数信号，有一维和多维，比如声音和图像

离散时间信号，整数变量的函数信号，比如每周股市指数

二、系统

线性系统 (Linear) 非线性系统 (NonLinear)

时变 (Time-varying) 时不变 (Time-invariant)

主要关注，线性时不变系统（LTI）

三、系统相互连接

串联或级联连接 、并联连接、反馈连接 用于不稳定的系统，反馈常被用来稳定这个系统

四、域，系统分析和表达方式

时域

频域 信号的一种表现，也是对系统进行分析的一种方法

频域相关：傅里叶转换、拉普拉斯变换，傅里叶转换的扩展、拉普拉斯转换对应的离散时间转换，Z变换，傅里叶转换的扩展

example：一个音符被播放

时域表示声压作为时间的函数时如何改变的

频域表示该音符频率信息表示

五、基础信号

1.连续时间正弦信号

x(t)=Acos(ω₀t+φ)

• 周期性

x(t)=x(t+T₀) period=最小的T₀值

Acos(ω₀t+φ) =Acos(ω₀t+ω₀T₀+φ)

ω₀T₀ = 2πm => period = 2π /ω₀

• 时移相当于相变，相变相当于时移

Acos(ω₀(t+t₀) =Acos(ω₀t+ω₀t₀)

ω₀t₀可以看做相变Δφ

• 偶信号

φ=0 x(t)=Acos(ω₀t）

x(t) = x(-t)

• 奇信号

φ=-π/2 x(t)=Acos(ω₀t-π/2) 或 x(t)=Asin(ω₀t) 或 x(t)=Acos(ω₀(t-T₀/4))

x(t) =-x(-t)

2.离散时间正弦信号

x[n]=Acos(Ω₀n+φ)

• 时移相当于相变,相变不一定相当于时移

Acos(Ω₀(n+n₀)) = Acos(Ω₀n+Ω₀n₀)

Ω₀n₀ = φ

Acos(Ω₀n+φ) =Acos(Ω₀(n+n₀)) ？

不一定有正整数n₀满足上面式子

在连续时间信号中，时移的数值可以不必是个整数

由于离散时间信号的本质，时移必须是个整数，所以相变和时移动必须满足这一特殊关系，即当n₀时整数时，Ω₀n₀等于相变

• 不一定具有周期性

所有的连续时间正弦信号都具有周期性

x[n] = x[n+N] 最小的N为周期

Acos(Ω₀(n+N)+φ) = Acos(Ω₀n+Ω₀N+φ)

Ω₀N = 2πm ,N=2πm/Ω₀, N,m为整数

2πm/Ω₀得出的值不一定是整数

比如

Ω₀=2π/12, 2π/Ω₀=12, N=12具有周期性

Ω₀=8π/31, 2π/Ω₀=31/4, N=31,m=4 具有周期性

Ω₀=1/6 2π/Ω₀=12π, π无理数，不具有周期性

3.实指数和复指数信号

• 连续时间实指数信号

x(t)=Ce^at, C、a为实数

• 离散时间实指数信号

x[n]=Ce^βn=Caⁿ , C、a为实数

• 连续时间复指数信号

x(t)=Ce^at,C、a为复数

C=|C|e^jθ , a=r+jω₀

x(t)=|C|e^jθe^(r+jω₀)t=|C|e^rte^j(ω₀t+θ)

x(t)=|C|e^rtcos(ω₀t+θ)+j|C|e^rtsin(ω₀t+θ)

• 离散时间复指数信号

x[n]=Caⁿ,C、a为复数

C=|C|e^jθ , a=|a|e^jΩ₀ ,

x[n]=|C|e^jθ( |a|e^jΩ₀)ⁿ=|C||a|ⁿe^j(Ω₀n+θ)

x[n]=|C||a|ⁿcos(Ω₀n+θ)+j|C||a|ⁿsin(Ω₀n+θ)

4.单位阶跃信号

u[n]=1 n≥0; 0 n<0.

5.单位脉冲信号

δ(n)= 1 n=0

δ(n) = u[n] -u[n-1]

u[n]=Σδ[m] m从-∞到n

单位阶跃序列看做一串单位脉冲
连续时间单位阶跃和脉冲